lunedì 17 marzo 2014

Il cerchio che non quadra

Nel 2009, per l'assegnazione dell'Asino d'Oro, votai convintamente Odifreddi (del quale ora non intendo parlare, tutto quello che avevo da dire l'ho già scritto qui), tuttavia, per mostrare la mia imparzialità di giudizio, proposi anche la candidatura di Antonino Zichichi per il suo articolo Il cerchio che non quadra, uscito su Famiglia Cristiana di ottobre 2005. L'articolo (che può essere letto qui) affrontava in modo divulgativo il classico problema della quadratura del cerchio. Trattandosi, per l'appunto, di divulgazione, era normale aspettarsi qualche semplificazione, ma purtroppo Zichichi fece di molto peggio, scrivendo una sequela di errori ed imprecisioni tale da rendere del tutto incomprensibile l'argomento trattato. Dal momento che il proposito di questo blog sarebbe parlare anche di scienza, riporto qui le motivazioni che allegai alla mia proposta di candidare Zichichi per l'Asino d'Oro.

L'articolo di Zichichi non sta in piedi in alcun modo. Cercherò di spiegare il perché in maniera concisa, anche se non potrò essere breve.

Scrive Zichichi: «Il senso comune avrebbe suggerito che le due cose fossero legate: se aumento il raggio di 10 volte, la lunghezza del cerchio corrispondente a quel raggio dovrebbe aumentare anch'essa di 10 volte. Invece no. Provarono a migliorare gli strumenti di misura per capire cosa stesse succedendo».

Questo passaggio è del tutto errato, per due motivi:

1) Per come è scritto, si potrebbe interpretare che la circonferenza non sia realmente proporzionale al raggio.
2) Lascia intendere che i matematici greci cercassero di determinare questo rapporto semplicemente misurando, ed anche questo non sta in piedi.

I matematici greci procedevano in maniera rigorosamente formale. Euclide, nel XII libro degli Elementi, proposizione 2, dimostra che le aree di due cerchi stanno tra loro come i quadrati dei rispettivi raggi, il che significa che il rapporto tra l'area del cerchio ed il quadrato del suo raggio è una costante uguale per tutti i cerchi. Archimede, nel libro Sulla Misura del Cerchio, proposizione 1, dimostra che l'area del cerchio è equivalente a quella di un triangolo rettangolo i cui cateti sono il raggio e la circonferenza del cerchio.

Mettendo insieme la proposizione di Euclide con quella di Archimede, è immediato dedurre che due circonferenze stanno tra loro come i rispettivi raggi, ovvero che il rapporto tra circonferenza e raggio è lo stesso per tutti i cerchi.

Quindi, almeno sin dai tempi di Archimede, che la circonferenza sia direttamente proporzionale al raggio era un fatto già ben conosciuto, sul quale non si aveva alcun dubbio.

Il problema quindi non era quello di provare l'esistenza e l'unicità del pi greco, ma quello di calcolarlo. Nell'antichità vennero date diverse approssimazioni, una dallo stesso Archimede (proposizione 3 del libro Sulla Misura del Cerchio). Il calcolo di Archimede si basava sull'approssimare la circonferenza con dei poligoni regolari: aumentando il numero di lati si migliorava l'approssimazione. Questo metodo è, in linea di principio, analogo a quello proposto da Zichichi con i pezzettini di carta, anche se quest'ultimo in pratica non è utilizzabile. Come detto si tratta comunque di un'approssimazione, ed Archimede lo sapeva bene. Ma la proporzionalità tra raggio e circonferenza era già stata rigorosamente dimostrata.

Pertanto una cosa è dimostrare l'esistenza e l'unicità del pi greco, altro è determinarne l'esatto valore.

Il metodo dei poligoni (o quello dei pezzettini di carta) permette di costruire, attraverso successivi passi, approssimazioni sempre migliori. Ci si può chiedere allora: esiste un metodo che permetta di costruire il valore esatto di pi greco? Modificando un po' i termini della questione si arriva diretti al problema della quadratura del cerchio. Ma prima di parlare di questo, è meglio prima correggere un altro errore di Zichichi.

Scrive Zichichi: «Nessuno sarebbe mai riuscito a stabilire una relazione calcolabile tra la lunghezza di un cerchio e la lunghezza del suo raggio. Il matematico tedesco Ferdinand von Lindemann dimostrò, nel 1882, che questa relazione non poteva essere espressa da alcuna equazione algebrica. Il che vuol dire un'espressione con un numero finito di termini».

Qui si fa gran confusione di termini matematici, niente affatto giustificabile appellandosi al contesto divulgativo. Vediamo di chiarire con termini semplici ma fondamentalmente corretti. I numeri reali si distinguono in razionali ed irrazionali. I razionali sono numeri che possono essere espressi come rapporto di due numeri naturali. In rappresentazione decimale i razionali hanno un numero finito di cifre decimali, oppure sono periodici. Gli irrazionali non possono invece essere espressi come una frazione, ed in rappresentazione decimale hanno infinite cifre decimali senza alcuna periodicità (altrimenti si potrebbe determinare la relativa frazione e quindi sarebbero razionali). Gli irrazionali si dividono poi in algebrici e trascendenti. I numeri irrazionali algebrici sono quelli che possono essere espressi come soluzione di un'equazione algebrica, ovvero Pn(x) = 0 dove Pn(x) è un polinomio in x di grado n a coefficienti interi. Ad esempio radice di due è soluzione dell'equazione algebrica x² – 2 = 0. I trascendenti sono semplicemente gli irrazionali non algebrici. Lindemann per l'appunto dimostrò che pi greco è un trascendente, ovvero non si può trovare alcuna equazione algebrica la cui soluzione sia pi greco.

Prima di andare avanti, è opportuno ora definire che cosa si intenda per "costruzione con riga e compasso". Con "riga" non si intende il familiare righello millimetrato che permette di fare misurazioni di lunghezza, ma si intende un oggetto ideale che permette di disegnare linee rette di lunghezza indefinita. Con "compasso", analogamente, si intende un oggetto ideale che permette di disegnare cerchi di raggio qualsiasi. Fare una costruzione con riga e compasso significa quindi costruire un qualche oggetto geometrico utilizzando opportunamente questi due oggetti, e chiunque abbia fatto un po' di disegno tecnico a scuola (immagino quasi tutti) credo che possa ben capire di che cosa si tratti (nella pratica si utilizzano anche le squadre, ma solo per una questione di praticità; le operazioni fatte con le squadre possono essere infatti scomposte in operazioni più elementari effettuate con riga e compasso).

Chiarito quindi cosa si intende per "costruzione con riga e compasso", si può allora enunciare il problema della quadratura del cerchio in termini corretti. Il problema consiste, dato un cerchio, nel costruire con riga e compasso un quadrato di area equivalente. In questi termini, questo è il problema classico, che però può essere riformulato richiedendo, dato un cerchio, di costruire con riga e compasso un quadrato il cui perimetro è uguale alla circonferenza data; infatti, supponendo di aver risolto il problema in una delle due formulazioni, è poi molto semplice risolvere l'altra.

Zichichi, nel suo articolo, fa ovviamente riferimento alla seconda formulazione, ma omette di specificare che il problema deve essere risolto con riga e compasso, ovvero omette un punto fondamentale del problema, rendendo di fatto il suo articolo praticamente inutile per chi volesse avere informazioni su questo classico problema. L'esempio che poi fa di avvolgere un filo intorno al cerchio è completamente fuori luogo, visto che si tratta di un procedimento non ammesso nel problema. Tra l'altro la distinzione tra un cerchio reale ed un cerchio ideale non c'entra niente: se idealmente avvolgessi un filo inestensibile intorno ad un cerchio ideale, e poi piegassi il filo in quattro parti otterrei esattamente il quadrato desiderato. Questa distinzione tra realtà ed idea è fuorviante. Anche quando si fanno costruzioni con riga e compasso si suppongono sempre una riga ed un compasso ideali, come già detto prima, e non fa niente che poi in realtà queste non esistano. Ad esempio il problema di costruire un triangolo equilatero su di un dato segmento AB può essere risolto così: puntando su A con raggio AB si tracci un circonferenza C1; puntando su B con raggio AB si tracci un circonferenza C2; si individuano così le intersezioni C e D tra le due circonferenze; queste sono, per costruzione, equidistanti dagli estremi del segmento AB e in particolare risulta AB = BC = CA; ABC (oppure ABD) è quindi il triangolo equilatero cercato. Questo procedimento è geometricamente valido; la sua validità non dipende dalla qualità degli strumenti reali.
Per il suo ragionamento sul cerchio reale credo pure che Zichichi si sarebbe potuto beccare i rimproveri da quel Galileo che tanto ammira; vi invito infatti a considerare ciò che il Linceo scrisse nella Seconda Giornata del suo Dialogo:

«SALVIATI: [...] vorrei pur che la conversazione, ancor che di poche ore, avuta con persone che hanno qualche cognizion di geometria vi facesse comparir un poco piú intelligente tra quei che non ne sanno niente. Or, per mostrarvi quanto sia grande l'error di coloro che dicono che una sfera, verbigrazia, di bronzo, non tocca un piano, verbigrazia, d'acciaio, in un punto, ditemi qual concetto voi vi formeresti di uno che dicesse e costantemente asseverasse che la sfera non fusse veramente sfera.
SIMPLICIO: Lo stimerei per privo di discorso affatto.
SALVIATI: In questo stato è colui che dice che la sfera materiale non tocca un piano, pur materiale, in un punto, perché il dir questo è l'istesso che dire che la sfera non è sfera.»

Ci stiamo comunque ormai avvicinando alla conclusione; resta solo da fornire un'ultima definizione: un numero si dice "costruibile" quando, assegnata un'unità di misura, ovvero scelto un segmento qualsiasi come unità, si può costruire con riga e compasso un segmento corrispondente al numero stesso. Si può inoltre dimostrare, e questo è un punto fondamentale, che qualunque numero costruibile è necessariamente algebrico (per completezza avverto che l'opposto non è vero, non tutti i numeri algebrici sono costruibili).

Ecco allora la soluzione del problema della quadratura del cerchio. Per costruire il quadrato di area equivalente è necessario costruire in qualche modo il pi greco; ma se questo fosse possibile, allora il pi greco sarebbe algebrico. Si spiega quindi perché il risultato di Lindemann pose fine al problema: avendo Lindemann dimostrato che il pi greco è un numero trascendente, esso non sarà costruibile, e pertanto il problema della quadratura del cerchio non ha soluzione.

Siamo alla fine. Ora chiedo, tra errori ed inesattezze, che valore ha l'articolo di Zichichi? Chi non conoscesse il problema della quadratura del cerchio e decidesse di informarsi su di esso leggendo l'articolo di Zichichi, qual concetto ne ricaverebbe? È chiaro che ne ricaverebbe soltanto alcune idee sbagliate mescolate ad alcune altre idee confuse. Non mi sembra un buon risultato.

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